对角线论证（实数是不可表示的）

对角线论证（Cantor's diagonal argument）是德国数学家乔治·康托尔提出的一种证明方法，用于显示实数集是不可列的，意即无法将所有实数列成一个列表。以下是对这一论证的基本解释：

论证过程

1. 假设可以列出所有实数：首先，假设可以将所有实数按某种方式排列成一个列表，每个实数用其小数表示。例如：
5. 以此类推。
6. 构造新的实数：接下来，构造一个新的实数 ，其小数部分的每一位都与列表中的相应实数的每一位不同：
7. 取 的第一位为 的不同数字（例如，如果 ，则可以取 ）。
8. 取 的第二位为 的不同数字。
9. 继续这个过程，确保 的第 位不同于 。

为什么叫对角线论证呢

我们通过对第一个数第一位，第二个数第二位，第三个数第三位，... 第n个数第n位,如同矩方形的对角线一般，构造出的这个数，是不可能存在于此列表的。 毕竟我们能列出的项是有限的，会不会在...的那些地方，我们构造出的数是存在的呢。 然而这是不可能的。

反证法

如果我们构造出的那个数存在于此列表，那么必然是某一项，然而当你注意到那一项时，你会发现，它的第 位已经在构造的时候，已经与原本不同了。因此，不论我们给出一个什么样的实数列表，通过这种构造法，总能找出不属于此列表的项。

得出结论

根据构造方式，新的实数 不可能在原列表中，因为它在每一位上都与列表中的某个实数不同。因此，假设所有实数可以被列出是错误的，实数集是不可列的。