chapter 1 The Abstract Nature of Mathematics

数学的本质

数学的学习往往以失望开始。这门科学的重要应用、其思想的理论兴趣以及其方法的逻辑严谨，都引发了对迅速接触有趣过程的期望。我们被告知，借助它的帮助，我们可以衡量星星的重量，数出一滴水中数十亿的分子。然而，像哈姆雷特父亲的幽灵一样，当我们试图用思维去理解它时，这门伟大的科学成功逃避了——‘它在这里’，‘它在那里’，‘它又消失了’——，而我们所看到的并没有像幽灵那样飘忽不定，不能让我们认为它过于崇高，超出了我们粗浅方法的理解。在某些情况下，这种幽灵般的表现，可能就出现在那些占据初等数学著作页面的琐碎结果中。 这门科学未能实现其声誉的原因在于，其基本思想未能与为了在特定情况下准确呈现它们而创造的技术程序分开向学生解释。因此，不幸的学习者发现自己在努力获得大量细节的知识，而这些细节并没有被任何总体概念所阐明。毫无疑问，技术能力是有价值的心智活动的首要条件：一旦我们发现在对单个字母的形式并不完全确定，而有必要查单词时，我们就无法欣赏弥尔顿的韵律或雪莱的激情。从这个意义上说，没有通往学习的捷径。但同样错误的是，将注意力局限于技术过程，而不考虑总体思想。这里是走向书呆子的道路。

以下章节的目标不是教授数学，而是让学生从课程的一开始就了解这门科学的内容及其作用。即使在接下来的内容中提到了一些读者可能不理解的技术过程或符号，也仅仅是为了举例说明的目的，并且我们会确保整体论述易于理解。

大多数人对数学的第一次接触是通过算术。人们通常把二加二等于四视为一种简单的众所周知的数学命题。因此，算术将是一个很好的研究对象，以便尽可能地发现这门科学最显而易见的特征。现在，关于算术的第一个显而易见的事实是它适用于一切事物，无论是味觉、听觉、苹果、天使，还是心灵的思想和身体的骨骼。事物的本质是完全中立的，关于所有事物的事实是，二加二等于四。因此，我们将数学的主要特征写下来，即它处理适用于事物的属性和概念，仅仅因为它们是事物，而不受与它们有任何特定感受、情感或感觉有关的影响。这就是所谓的将数学称为抽象科学的含义。

我们所得出的结论值得关注。人们自然会认为，抽象科学在人类生活事务中并不是非常重要的，因为它在考虑时省略了所有真正感兴趣的事物。大家可能还记得，格列佛游记的作者，斯威夫特在描述格列佛的《拉普达之行》时在这一点上持有两种观点。他将那个国家的数学家描述为愚蠢无用的梦想家，需要用扇子唤醒他们的注意力。此外，数学裁缝用象限仪测量他的身高，然后用尺子和圆规推算其他尺寸，为格列佛做出了一套非常不合身的衣服。另一方面，拉普达的数学家们通过他们奇妙的发明——漂浮在空中的磁性岛屿，统治了这个国家，并保持了对他们的臣民的统治地位。事实上，斯威夫特生活在一个特别不适合嘲笑当时数学家的时代。牛顿的《自然哲学的数学原理》刚刚完成，这是一个改变现代世界的伟大力量之一。斯威夫特倒不如嘲笑一场地震。

然而，仅仅列举数学的成就是了解其重要性的不令人满意的方式。值得花一点时间思考，去找出数学因其非常抽象而始终保持着作为思考的最重要主题之一的根本原因。让我们尝试弄清楚为什么事件顺序的解释必然倾向于变得数学化。

考虑一下所有事件是如何相互关联的。当我们看到闪电时，我们会听雷声；当我们听到风声时，我们会看海上的波浪；在寒冷的秋天，树叶落下。到处都有秩序存在，因此当某些情况被注意到时，我们可以预见到其他情况也会出现。科学的进步在于观察它们之间的相互关联，并展示出一种耐心的创造力，即这个不断变化的世界中的事件只是几个称为定律的一般关联或关系的例子。看到特殊中的普遍，以及暂时中的永久，是科学思维的目标。在科学眼中，苹果的落下、行星绕太阳运动，以及大气对地球的附着，都被视为重力定律的例子。将最复杂、最短暂的情况分解成各种永久定律的例子，这种可能性是现代思想的控制理念。

现在让我们考虑一下，为了完全实现这一科学理想，我们需要什么样的法则。我们对周围世界的具体事实的认识来自于我们的感觉。我们看到、听到、尝到、闻到、感受热和冷，推、摩擦、疼痛、刺痛。这些只是我们自己的个人感觉：我的牙痛不可能是你的牙痛，我的视觉也不可能是你的视觉。但我们将这些感觉的起源归因于构成外部世界的事物之间的关系。因此，牙医取出的不是牙痛，而是牙齿。而且不仅如此，我们还努力想象世界是一个互相关联的一系列事物，它构成了所有人的所有感知。世界而并非是一个一些东西只有我能感知到，另一些东西只有你能感知到的世界，而是我们两者共存，都能感知的世界。对于牙医和患者来说，拔掉的牙齿是同一颗牙齿。我们听到的、触摸到的，和我们看到的也是同一个世界。

因此，很容易理解我们想要以某种方式描述这些外部事物之间的联系，这种方式不依赖于任何特定的感觉，甚至不依赖于任何特定个人的所有感觉。在外部事物世界中事件的发展过程中所满足的法则，如果可能的话，应以一种中立、普遍的方式描述，这种方式对盲人和聋人来说是相同的，对那些具有超出我们理解的能力的存在来说也是相同的，就像对所有普通人相同一样。

当我们抛开直接的感觉时，剩下的最实用部分——因其清晰、明确和普遍适用——由我们对事物抽象形式特性的总体观念构成；实际上，就是上文提到的抽象数学思想。在人类在寻求宇宙特性数学描述的过程中，这种认知是逐步获得的，人们并不直接意识到这个过程，因为只有通过这种方式，才能形成事件发展的普遍概念，摆脱对特定个人或感觉类型的依赖。例如，在晚餐时可能会问：“是什么构成了我的视觉感知、你的触觉感知、他的味觉和嗅觉？”答案是“一个苹果”。但在最终分析中，科学试图通过分子的位置和运动来描述一个苹果，这种描述忽略了我、你和他，也忽略了视觉、触觉、味觉和嗅觉。因此，数学思想因其抽象性，正是提供了科学描述事件过程所需的内容。

这一观点通常被误解，因为人们将其看得太狭隘。当毕达哥拉斯宣称数字是一切事物的源头时，他曾经对此有所感悟。在现代，人们相信一切事物的最终解释可以在牛顿力学中找到，这预示了一个事实，即随着科学不断向完美迈进，所有科学都变得数学化。